1901年春天，数学界濒临着罗素悖论的挑战，强大的数学家嗅觉到数学的基础正在他们眼下动摇。罗素悖论不仅对数学规模产生了深刻的影响，而且引起了一场康健上的纷乱，时辰长达十来年。罗素为此付出了卓绝的努力，况兼他很大一部分元气心灵皆花在应酬强大同业的品评上了。

伯特兰・阿瑟・威廉・罗素常常被以为是逻辑主义知道的奠基者，领有许多拥护者，同期也引起了许多异议。逻辑主义者想证实：通盘的地谈数学皆是从地谈的逻辑前提得出来的，并只讹诈不错用逻辑术语界说的观念。

逻辑主义似乎在作念两方面的努力。率先，声称通盘的数学皆不错用逻辑术语来诠释。因此，数学术语和符号就组成了一个逻辑术语和符号的有用子集。其次，声称通盘的数学证明皆不错用逻辑证明来再行抒发。也便是说，数学定理不错组成逻辑定理的合理子集。

通过强调地谈数学是由逻辑的门径组成的，罗素说：“地谈数学完全是由断言组成的，大意是如果某某命题在某种情况下为真，那么另一个某某命题在那种情况下也为真。”

罗素的不雅点招致了品评。其后罗素写谈：“在一开动，这个论题是不受迎接的，因为在传统上，逻辑是与形而上学和亚里士多德斟酌在沿途的，是以数学家们以为这跟他们不相关，那些以为我方是逻辑学家的东谈主也极不肯意被条件掌抓一门新的有特地难度的数学时候。”

朱尔斯・亨利・庞加莱

在强大的品评东谈主中，有一位又红又专的法国数学家朱尔斯・亨利・庞加莱。克罗内克身后，庞加莱成为康托尔超限数学的主要反对者，而罗素的逻辑大厦主要就建设在康托尔集会论的基础上，庞加莱对罗素的作风就显而易见了，相互间是绝不原谅。

罗素

伯特兰・阿瑟・威廉・罗素1872年5月18日生于威尔士的特雷克。晦气的罗素2岁失去母亲，4岁失去父亲，6岁失去祖父；因此主要由祖母带大。罗素一直在家接管家庭教悔的栽种，直到18岁。

尽管祖母的品行好，但成年后，罗素感到很压抑。如他所说：“在我到14岁后，我祖母的学问局限让我很痛苦，她的清教徒谈德次第也开动显得有些过分。”事实上，终其一世，罗素往往发现我方堕入千里着轻佻与情愫的突破之中。

十几岁的罗素推崇出了优异的才略，罗素在《自传》中写谈：“在11岁时，我的哥哥作念我的导师，开动教我欧几里得几何。在我的一世中，这是一桩谬误事件，像初恋一样让我清脆狂喜。我从来没预料，宇宙上还有这样好意思好的东西。在学完第五命题后，哥哥告诉我常常东谈主们以为它很难，但我发现根底就不难。第一次我倏得明白我也许有些聪惠。从那一刻起，直到38岁与怀特海互助完成《数学旨趣》，数学是我主要的意思，亦然我主要的喜跃源泉。然则像其他通盘的喜跃一样，它不是地谈的。有东谈主告诉我欧几里得几何里的内容皆是依据于证明，但我失望地发现它是从公理起程的。在开动的时候，如果哥哥不可给我讲浮现这样作念的意义，我就拒却接管它们。但他说：‘如果你不接管它们，咱们没法续学习了。’我但愿不时学下去，于是我暂时不宁愿地接管了它们。那时对那些数学前提的猜忌一直伴跟着我，决定了我其后所从事研究的主见。”

1890年，罗素进入剑桥大学三一学院学习数学和形而上学。两年后，被邀加入一个东谈主数未几、东谈主员经过尽心挑选的“使徒社”，社团往往在大学里组织约会。对罗素有着垂危影响的阿弗烈・诺斯・怀特海亦然社团成员之一。罗素自以为在社团的举止是一世中在剑桥最大的喜跃，以至远比他的成就给他的喜跃多。

伯特兰・阿瑟・威廉・罗素

对于我方的早期发展，罗素写谈：“在上剑桥之前，我就还是对形而上学感意思了，但除了密尔的书，我莫得读别的。为假设数学是对的找到一些意义，是我最大的盼望。密尔的《逻辑》在这个学科上的主张给我的印象是很不完全的……除了一堆无理，我的数学导师从未向我证实假设微积分正确的意义……在第四学年，我读了大部分伟大哲字家的文章，也读了很巨额学形而上学上的文章。詹姆斯・沃德一直皆给我这个学科最新的书看。每次我把它们还给他时，我皆说它们写得很糟糕。我浮现地铭记他的失望和他为了让我幽闲而去找书所付出的繁重努力。之后，我还是成为剑桥的又名教员了，我从他那处得到两本薄书，两本书他皆没读过，也不以为有什么价值。它们是格奥尔格・康托尔的《集会论》和弗雷格的《观念笔墨》。最终，这两本书给了我想要的依据。”

很快，罗素对康托尔入了迷。在19世纪的临了几年，罗素每天走到岳父母在格罗斯菲那路的家去，在那处花时辰读格奥尔格・康托尔，并把重点抄到一个条记本里。

罗素在校的时候，剑桥进行了一场谈理深刻的变革。管理层开动以为学术研究不仅是课后布置时辰的业余爱好，更应该是教悔使命的垂危组成部分。原创性的研究效果不错赢得丰厚的奖学金，在1895年，罗素因为对于几何基础的一篇论文赢得奖学金，并发表于1897年。

在此次得胜之后，罗素开动汇聚各式不雅点，以对数学的基础作念一番详细的整理，并开动念念考：在少数几个基本逻辑观念的基础上创建数学是可能的。

逻辑主义

罗素不以为，数理逻辑以至逻辑主义是倏得从我方的脑子里蹦出来的。其他数学家对数理逻辑和数学的基础的注目，拓荒了罗素。

弗里德里希・‍路德维希・戈特洛布・弗雷格

19世纪70年代末，德国逻辑学家、数学家、形而上学家戈特洛布・弗雷格已发现大部分数学皆不错由很少许的逻辑述说推导出来，1884年发表《算术基础》，书中对算法公理化作了早期尝试。可惜在很猛进程上这本书被冷漠了。

弗雷格信托，逻辑和数学的聚积在表面上是可能的，于是他开动遐想用来作为源泉和基础的命题。到1902年，他还是将我方的效果汇总起来，并发表了《算术基础》的第一卷。弗雷格正出书第二卷的时候，对他早期的《算术基本定律》印象极深的罗素意志到，我方的悖论在弗雷格的公理体系中产生了矛盾。罗素写信见告弗雷格后，弗雷格极为恐慌。

对弗雷格来说，由于《算术基础》的第二卷还是印好了，很难对其再作念出任何修改。因此，他加了一个附录作声明，声明开端是这样写的：“使命刚刚完成，其赖以维系的根基就垮掉了，对于一位科学家来说，莫得比这更烦懑的遇到了。当我的书接近出书的尾声时，伯特兰・罗素先生的一封信就把我置于这样的境地。”

历史记录标明：在这以后，弗雷格变得相配烦恼，以至有了暗影，尽管主如若出于个东谈主以至是政事原因。直到晚年他才再次作念一些为东谈主称谈的使命，尽管不是这个规模了。1923年，弗雷格得出这样的论断：尝试把数学建设在逻辑的基础上是误入邪路。

具有朝笑意味的是，当1901年提倡罗素悖论时，罗素已开动接力于于逻辑主义上的《数学旨趣》。诚然弗雷格毁灭了从逻辑中建设数学的努力，但罗素决定不时下去，并发表了他的效果。弗雷格的第二卷诚然也发表了，但还是是在10年之后，而第三卷一直皆没完成。

伯特兰・阿瑟・威廉・罗素

在《数学旨趣》的前言中，罗素承认：“弗雷格证明的效果，大部分皆先于我，当他的现存效果开动出书时，其中的大部分我皆不懂。我还是见过他的《算术基础》，但是由于他的符号系统太难，我莫得知道它的垂危性，也不懂它的内容。在这样晚的时候，对他的效果作念出顺应回话的唯独办法便是给它加上一个附录。”换句话说，罗素以为弗雷格的门道是正确的，仅仅罗素悖论使弗雷格无法不时使命了，而这个忙绿的任务就留给了罗素。同期，罗素还说：“尽管他作念出了划时间的发现，但在1903年我在意到他之前，他一直完全得不到玩赏。”

为数学的旨趣创建一个更全面的处理模式是罗素的目的，他开动更矍铄地信托：地谈数学能够建设在一小部分基本的逻辑观念上，它的命题也能从为数未几的基本逻辑旨趣推异出来。但对初稿，罗素并不幽闲。

1900年，罗素参加巴黎召开的国际形而上学大会。他其后写谈：“此次会议是我学问人命的一个蜕变点，因为在这里我遇到了皮亚诺……在大会的商讨中，我发现他一直皆比其他任何东谈主更精准，在他参与的辩论中，他老是能告捷。过了一段时辰，我明白这应该是由于他精明数理逻辑。因此，我让他把他通盘的研究效果皆送给我。大会一已矣，我就归隐到芬赫斯特，幽闲地琢磨他和他的弟子写的每一个字。对我来说，很赫然他的符号为逻辑分析提供了一个器具，这恰是我寻求多年的。”

罗素很快就知道了皮亚诺的想法和内涵丰富的符号系统，并开动在此基础上重写他的书。

逻辑主义的面世

1903年面世的《数学旨趣》第一卷受到了迎接，提倡了许多解救逻辑与数学间有密切关联的不雅点。第二卷将写入这些不雅点所需要的证明，但它一直莫得完成。隔断是它演变成了洋洋纚纚的三卷本《数学旨趣》。而且这套书，是分阶段在与好友兼共事阿尔弗雷德・诺斯・怀特海互助下完成的。

其后，罗素发出一个挑战：“如果还有东谈主不承认逻辑和数学的一致性，咱们不错挑战他们，让他们指出，在《数学旨趣》严实的界说和推导经过中，哪个地点莫得逻辑而唯独数学？！”

伯特兰・阿瑟・威廉・罗素

在写稿《数学旨趣》的同期，罗素并未住手处理悖论问题。他开动怀疑这些悖论组成了某种恶性轮回，并寻求躲避这个悖论的模式。开动，曾尝试用一种称作类型论的模式，该模式的基本不雅点是分辨个体、个体的规模的规模，以此类推。每一端倪成为一个类型。他把这写在《数学旨趣》的附录里。至此，这个被全球纷繁议论了许多年的不雅念，第一次出当今了书面上。然则尽管它能处理罗素悖论，却不可解释康托尔的。

1905年，罗素尝试使用新想法，摸索出三个不同的模式：弯曲论，在琢磨界说浮现的类时，对命题函数的复杂进程加以罢休；限量论，制定例则以督察某些类过大而引起矛盾；非类论，提议完全取销类。这三个模式皆成为其后研究的对象。罗素在名为《对于超穷数和超穷序型表面中的一些发愤》的论文中提倡这些模式。1905年12月14日，在伦敦数学学会上宣读了这篇论文，并发表在《伦敦数学学会会报》上。论文中，罗素这样开端：“在某些逻辑推理的念念考模式匡助下，咱们不错信托三个表面中的每一个皆是合理的。”

庞加莱

朱尔斯・亨利・庞加莱于1854年4月29日生于法国的南希。在专科化迅猛发展的时间，他是历历的，涉猎常常的数学科学家之一：活着纪之交，他还是在包括数论、拓扑学、概率论和数学物理学等诸多规模有所配置；还写了一套对于天膂力学的三卷本文章；在狭义相对论方面也作念出了始创性的使命。

庞加莱在使命模式上有某些特地之处：他特殊的使命时辰，从上昼10点到中午，从下昼5点到7点。在晚上，他读期刊。阅读面常常，但不利用别东谈主的效果来开展我方的研究念念路。在我方的研究使命中，庞加莱平直从最基本的地点起先来得出不雅点。到和罗素发生争论时，庞加莱赢得了通盘能够赢得的奖章和奖金，还被选为最显耀的科学和数学组织的成员。1887年，年仅32岁就被选为法国科学院的成员，他开动为更多读者写东西。非时候类竹帛和文章总和接近100本（篇），险些皆是在入选科学院后所写。

在国内海外的声誉日隆的庞加莱往往被邀请为大家就数学和科学发扮演讲或撰写文章。作为一位抗争常的数学家和科学家，他有着格外常常的意思、博览群书况兼皆能掌抓，而且还开动更多地柔柔天然和数学形而上学的基本问题。

朱尔斯・亨利・庞加莱

与克罗内克和他同期代的其他东谈主一样，对于在那时生根的新数学不雅念，庞加莱有一些相配明确的想法，举例：莫得必要去给整数下界说或者将它们的性质公理化；如果不可用有限的语句给一个对象作出浮现而完整的界说，咱们就不可引入它；集会论是一个病例，并量度：“后东谈主会以为集会论是一场咱们设法痊可的病。”

庞加莱以为一些数学不雅点比逻辑更基础，不可用逻辑术语来表述。1904年，他写谈：“讹诈逻辑，咱们证明；利用直观，咱们创造。”其后他声明：“因此，如果莫得直观的浇灌，逻辑如故荒原一派。”

基于庞加莱所笃信的数学理念，不难判辨他更倾向于研究应用数学。他说：“训戒是通盘真谛的唯独来源。”诚然这最终导致他去深刻念念考科学学问的基础，但对具体有形事物的倾向如故树大根深。因此，与视无尽为一个实在且可演算的观念的康托尔形成对比，庞加莱反对无尽集的主张。他主张：“实无尽是不存在的。不管些许事物还是存在，咱们称为无尽的东西只具有创造新事物的无限可能性。”莫里斯・克莱因写谈：庞加莱“相配腻烦严重依赖符号逻辑的模式，在他的《科学与模式》中，他以至对这种行动作了朝笑。布拉利・福蒂在1897年的一篇文章中针对整数讹诈了一个这样的模式，东谈主们会发现文顶用了令东谈主晕眩的符号来界说1这个数，谈到这时，尊龙凯时中国官网入口庞加莱说，对于昔日从来莫得听说过1这个数的东谈主来说，这是一个极好的界说，很合适让东谈主们了解它。”

朱尔斯・亨利・庞加莱

在另一篇庞加莱的早期文章中，有一个更偏激的声明：“逻辑巧合候制造怪物。半个世纪（以来)，咱们还是看到，一些歪邪的方程出现了，它们看起来悉力要跟有些践诺用途的方程尽可能地不像……昔日，发明一个新的方程是为了一些践诺的目的；当今，它们发明出来，便是为了给咱们前辈的推导找茬，除此之外，咱们遥远也不会从中得到什么。”

因此，庞加莱注定会成为倚重集会论的逻辑主义的主要反对者。在法国有一段时辰，罗素的逻辑主义主要反对者是法国数学家路易斯・库蒂拉特，他在1904年和1906年发表了一些文章。罗素的文章发表在1906年的《伦敦数学学会会报》上。庞加莱找到了我方的靶子，该扣动扳机开火了。

庞加莱的攻势

庞加莱决定对罗素的逻辑主义发起一个全面的批判。为了使形而上学和各式科学能互相判辨，法国期刊《玄学与伦理学杂志》于1893年开动出书。庞加莱成为该杂志的主要投稿东谈主之一。在罗素的论文发表两个月后，庞加莱以《数学与逻辑》为题在《玄学与伦理学杂志》上刊发了反对文章。浓烈的争论就此拉开序幕。

庞加莱从回溯康托尔开动他的批判：“很巨额学家奴隶（康托尔的）指引……在他们的眼中，为了用真是逻辑的模式教算术，咱们应该从细则超穷基数的一般性质起先，然后从它们中间分辨出一个相配小的类，即普通整数的类。由于这条便谈，咱们会在证明通盘与这个小类斟酌的命题上取得得胜，而无需讹诈任何与逻辑不斟酌的旨趣。”然则庞加莱主张：“这种模式赫然与任何健全的心境违抗；天然，东谈主的才略也不是用这种模式在构建数学中取得进展的。因此我想，它的作家该不会联预料在中学教授中引入这种模式吧。它顺应逻辑吗？或者这样说更好，它是对的吗？这让我猜忌……”他接着说：“晦气的是，他们得出了称之为康托尔悖论的矛盾隔断……这些矛盾莫得让他们烦恼，他们努力去修正他们的限定，以便让那些还是不言自明的矛盾清除。尽管如斯，他们如故不可细则，新出现的矛盾是否亦然不言自明的。该是对这些空虚学问进行审判的时候了。我不奢想让他们明白，因为他们还是在这种氛围中呆得太久。另外，当他们的一个例证被驳倒后，咱们笃信会看到它以一种无谈理的变化样式回生了，它们中的一些还是从它们的骨灰中回生过好屡次了。”然后，他说：“这样，不错被判辨为，证实一个定理，知谈它是什么风趣既莫得必要，也莫得什么上风可言。几何学家也许会被‘逻辑钢琴’所替代……或者如果你欢乐，不错假想一台机器，一端输入假设，另一端就会输出定理，就像外传中的芝加哥机器一样，扔进活猪，出来的皆变成火腿和腊肠。除了这些机器，对于他们所要作念的，数学家们不需要知谈更多。因此，从假设推导到定理的逻辑正确性不应该是唯独让咱们进入的事。齐全逻辑的限定是数学的全部吗？这就好比说，棋战的全部奥秘之处就在于移动棋子的限定。在通盘能由逻辑提供的材料建设的构造中，咱们必须作念出采纳。真是的几何学家会贤人地作出这种采纳，因为有可靠的直观或无极的意志在指引着他。我知谈，这种无极的意志不会是更深邃和更瞒哄的几何，只凭它就不错赋予这栋在建造的大厦以价值。”

还有庞加莱对于罗素尝试处理“悖论”的朝笑：“依据弯曲论，当‘界说（命题函数）很圣洁时，它们决定一个类；当它们复杂和含混时，它们不可决定一个类。’当今，谁来决定一个界说是否不错被以为圣洁到能被接管？如果分歧完全窝囊为力作念一个诚实的率直的话，这个问题就莫得谜底。‘那些让咱们康健到这些界说是否正确的限定将会极其复杂，不可用任何合理的原因来解释它们。’……除了摒除悖论除外，我还没能找到任何其他的率领性原则。”庞加莱这样已矣这一个不雅点：“因此，这个表面仍然很含混；于是，昏黑中出现了一线晨曦逐个‘弯曲’。罗素称之为‘弯曲’的这个词毫无疑问便是使艾皮米尼地斯狡赖显得不落俗套的特地之处。”庞加莱指的是艾皮米尼地斯的话“我在说谎”。这句话引出了一个悖论。

朱尔斯・亨利・庞加莱

对于限量论，庞加莱争辩论：“如果一个类规模太广，它将莫得意义存不才去。也许它不错是无限的，但它不应该大得过分了。但咱们往往反复遇到相同的难题：在哪一个点上，它才开动变得过大？天然了，这个难题还莫得处理，但罗素就接着去商讨第三个表面了。”

接着，庞加莱锋芒转向罗素的非类论。锋芒指向罗素在《会报》上发表的论文的隔断的一个附录：“通过进一步的研究，我当今嗅觉到，对于这篇论文第一部分中叙述到的通盘难题，非类论皆能提供一个完整的处理办法，这险些是莫得什么疑问的。”庞加莱不是很赞赏这种说法，申斥说：“在非类论中，不允许说‘类’这个词，这个词必须用各式委婉的说法来代替。对于只谈类和类的逻辑来说，这是何等大的一个改变啊！重组通盘这个词逻辑变得很有必要。假想一下，在斟酌一个类问题的地点，整页的逻辑会让通盘的命题看起来若何地压抑啊？在一页乏味的答复之中，将会唯独零碎的命题幸存下来。”

庞加莱的其他申斥：“在多产的问题上，看起来库蒂拉特先生有些纯真的幻想。照他的说法，逻辑给了创造以‘撑持和翅膀’。接着，不才一页中有‘10年前，皮亚诺就出书了他的《汇编》’。有翅膀10年了，还莫得飞起来，若何会这样呢？我对皮亚诺致以最高的敬意，他分娩了许多宏构。但终归是，他还莫得比大部分莫得翅膀的数学家走得更远、更高、更快，也许他用他的双腿行走会更好。各异，在逻辑中，我只看到了经管创造的枷锁。它对简明莫得匡助逐个而且差得很远。如果在证实1是一个数时需要27个函数，那么，要证明一个实定理的时候得需要些许个函数呢？”

罗素的反击

为确保庞加莱明白我方的不雅点，罗素在庞加莱家乡的《玄学与伦理学杂志》上作念出回话。在1906年9月这一期上，这样开端：“我信托，庞加莱先生发表在这份期刊上的文章《数学与逻辑》诬陷了我对于逻辑的性质和目的……同期，它还提倡了困扰超穷集会论悖论的一个处理办法。庞加莱先生主张，这些悖论皆发祥于某种恶性轮回，在这一丝上，我快乐他的说法。但他没特意志到幸免这种恶性轮回的难度。我应该努力证实，如果要躲闪它，像我的‘非类论’之类的东西似乎是必需的。的确，恰是为了这个目的，我发明了这个表面。”

接下来是梗概20页的解释，天然少不了对庞加莱的申斥的回复。一个特地谭理的例子是他对庞加莱轻蔑皮亚诺的回复。罗素回话说：“对于庞加先生对皮亚诺先生的评价，我必须满怀谦逊地勇猛提倡与他不同的一丝意见。当今，我要向庞加莱先生标明，这仅仅证实皮亚诺先生的使命莫得引起他的意思的一种表述模式。皮亚诺先生还是铸造出一个对某些研究来说具有巨草率量的器具。咱们中的一些东谈主对这些研究感意思，从而对皮亚诺先生充满敬意。咱们以为，他正如咱们中的这些东谈主所垂青的那样，比那些冷漠他的‘无翅膀’的数学家走得远和快得多。”

伯特兰・阿瑟・威廉・罗素

罗素回话庞加莱对非类论的评价：“如果庞加莱先生能够甩掉对逻辑与数学任何其他门类皆迥然相异的信念，他也会意志到：在倡议不把类动作落寞的实体上，我不是在倡议作念出一个改变，以使它对于‘重组通盘逻辑’将是必须的；我也不但愿不容东谈主们‘说“类”这个词’，就像哥白尼但愿不容东谈主们说日出一样。”

罗素以为，庞加莱的问题是他不了解我方在作念什么：“也许，一个类比会让全球明白，这个改变根底就不是那么大。当今广为接管的无尽小量微积分学，既不讹诈无尽小，也不以它为前提。但是这在多大的进程上改变了无尽小量微积分的面孔？险些莫得。某些证明被重写，某些困扰18世纪数学家的悖论还是处理了；不然微积分的限定会险些莫得改变。”罗素追念谈：“庞加莱先生告诉咱们，‘逻辑中更浮现的不雅念’不是咱们需要的，但他莫得向咱们揭示他作念出这个垂危发现的经过，对我来说，我只可想，他对幸免恶性轮回的尝试证实了那些轻蔑逻辑的东谈主的侥幸。”

争端在不时

在又一次的反击中，庞加莱写谈：“不存在……实无尽。康托尔主义者还是忘了这个，况兼他们已堕入矛盾中。的确，康托尔主义有用，但这是在讹诈到一个术语被精准界说的践诺问题时……像康托尔主义者一样，逻辑主义者也会忘了它，并遇到相同的窘境。”其后他又说：“罗素察觉到了这种危机，并听取了劝告。他想改变一切，而且很容易判辨的是，他不光在准备引进新的旨趣，这些旨趣的应用在昔日是不容的；他还在准备不容一些他昔日以为合理的应用。他已点燃的他又重拾起来，他怜爱过的他又策画点燃，而这种倾向更严重。他不给大厦加上一个新翼，反而掏空它的根基。”

罗素在一篇题目为《以类型论为基础的数理逻辑》的新论文中作念出了回话，发表在1908年的《好意思国数学杂志》上。在文中，提倡了一个新的类型论。1909年，庞加莱在《玄学与伦理学杂志》上发表名为《无尽的逻辑》的文章作念出回话：他给出了处理困扰逻辑悖论的模式，过后标明这是他在这上濒临了的建议：只琢磨能用有限语句界说的对象；遥远不要忘了，每一个对于无尽的命题笃信是一个对于有限的、迁徙了的、有所改变的述说；幸免不笃信的界说和分类。

对于有限与无尽的区别，庞加莱在他1909年的文章中说：“罗素先生将会毫无疑问地告诉我，它们莫得心境学上的分辨，唯独逻辑和康健论上的分辨。我不得不被动作念出回话：莫得落寞于心境学的逻辑和康健论。这段信念的表白能够会已矣这场商讨，既然它将展示咱们不雅点上无法长入的分歧。”

伯特兰・阿瑟・威廉・罗素

然则罗素并不会平心定气。1910年5月，他再次在《玄学与伦理学杂志》上发表名为《逻辑类型的表面》。此时《数学旨趣》第一卷行将面世，在其前言中，与这篇最新的文章一样，提倡了他在逻辑论上最新的想法。

在文章中，他再次商讨起几个主题，包括对“要幸免的悖论皆发祥于某种恶性轮回”的赞同；还加上了一些对于类的最新的泰斗性研究；对他早期的研究作念了拓展。在这篇文章的后头，再次解释了他的类型论。在更后头他写谈：“庞加莱先生的文章《无尽的逻辑》中有一丝需要作念点解释。他断言：‘除非咱们假设序数论还是确立，不然类型论依然是不可判辨的’。这个断言对于我来说，似乎存在着某种纷乱。”

这种短兵贯串的相通还会不时下去吗？也许会，但侥幸不允许。不久后，庞加莱因前方腺疾病，在手术后出现了并发症，于1912年7月12日归天了。

失意的罗素

庞加莱的反对，对罗素过火在逻辑主义上的不雅点有什么影响？1938年，在他1903年的《数学旨趣》的重版中，不错找到一个画面。罗素决定“这本书当今所具有的意思是历史上的，它存在于这样一个事实中：它代表了在它这个科目发展中的某个阶段。因此，我莫得改变任何东西，但在这篇前言中，我应该接力证实白：在哪些方面，我解救它抒发的不雅点；在另外哪些方面，对于我来说，后续的研究似乎标明它们是错的。”

一言以蔽之，他告诉东谈主们：“下文对于数学和逻辑是归拢的基本论题，我从来莫得看到有任何意义要去修改它。”然则似乎有些一直让东谈主困惑的东西，包括逻辑自身的界说，“因此，界说逻辑或数学决不圣洁，除非讹诈一些给定的前提”。

伯特兰・阿瑟・威廉・罗素

他也提到了庞加莱。即使在1938年，罗素仍然执着于疗救因庞加莱著名的斟酌所变成的伤痛：“我如故回到悖论的问题和类型表面。亨利・庞加莱以为数理逻辑对发现莫得匡助，因而钻研它是空费工夫，况兼他还对悖论的出现感到快活，然则，昔日被通盘逻辑学家接管的前提会引出悖论，数理逻辑所要作念的便是让这些悖论变得赫然，不管数学有何等无辜。这些悖论不一定皆是新近出现的，有一些不错回溯到古希腊时间。”

但罗素不至于蠢到以为这些年逻辑主义表面一丝变化皆莫得。他在前言承认：“在数理逻辑中，如故有许多有争议的问题，它们……我不策画去处理它们。我只一次提到过对于这些悖论的问题，但在我看来，自从我写《数学旨趣》以来，还是有了相配明确的越过……对我来说，在这中间的34年，咱们所需要的形而上学上的变化似乎部分归功于数理逻辑在时候上的越过。”

正如克莱因指出的：“尽管在《数学旨趣》的第一卷中，罗素和怀特海绝不瞻念望地引进无尽公理和采纳公理，但他们在其后如实毁灭了这种作念法。他们不仅承认逻辑的基本定律不是悉数的真谛，而且承认这两个公理不是逻辑的公理。在《数学旨趣》的第二版中，这两个公理莫得出当今书开端的列表中，在需要它们证明某些定理时，对它们的应用也作了特地证实。”

事实上，在罗素1938年《数学旨趣》的前言中，他还是莫得了早年的乐不雅尊龙凯时，不再对我方的不雅点抱有终极得胜的自信了。这要部分地归因于1931年哥德尔对一致性与完备性不相容的证明。这些许与当年的弗雷格有点相似。